<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          7 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06259-0 

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio

 Segunda Parte

 Captulo 3
 
 Padres numricos ::::::::: 115
 Observando padres :::::::: 115
 Padres e 
  divisibilidade ::::::::::: 133
 Possibilidades e 
  padres :::::::::::::::::: 147
 Ao/Investigao --
  Possibilidades no
  jogo-da-velha :::::::::::: 158
 Um toque a mais --
  Um padro que entrou 
  para a histria :::::::::: 167

 Captulo 4

 Operaes com nmeros 
  fracionrios ::::::::::::: 172
 Operaes com nmeros 
  decimais ::::::::::::::::: 172
 Operaes com nmeros 
  decimais: diviso :::::::: 184
<p>
 Ao --
  Estime e calcule :::::::: 192
 Clculos envolvendo
   fraes :::::::::::::::::: 196
 Um toque a mais --
  O motim 
  "quebra-quilos" :::::::::: 211

<52>
<Tmat. i. & l. 7>
<T+115>
 Captulo 3

 Padres numricos

 Observando padres

  Esta sequncia tem um padro: os nmeros aumentam de 7 em 7.

 1, 8, 15, 22, 29, 36, ...

  Na sequncia dos *mltiplos* de 7, que voc j conhece, os nmeros tambm aumentam de 7 em 7:

 0, 7, 14, 21, 28, 35, ...

  Podemos relacionar as duas sequncias. Cada nmero da primeira sequncia  igual ao nmero de mesma posio da segunda, somado com 1. Veja: 

<R+>
 1+0=1; 8=7+1; 15=14+1; 22=21+1; 29=28+1; 36=35+1; ...
<R->

  Perceber padres  uma habilidade que ajuda a resolver problemas, simplificar clculos e fazer previses. Ajuda, enfim, a aprender Matemtica.
  Observando, por exemplo, a sequncia dos mltiplos de 5 0, 5, 10, 15, 20, 25, ..., percebemos um padro que nos permite fazer uma generalizao e formular uma regra:

<R+>
 Um nmero natural  *divisvel* por 5 somente quando termina em 0 ou em 5.

 Procure no dicionrio: mltiplo, divisvel.
<R->

  Essa regra permite prever que 456.788 no  divisvel por 5, sem que seja preciso efetuar a diviso.
  Agora, vamos observar um padro no calendrio.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Note que o ano de 2009 comeou em uma quinta-feira, o de 2010, em uma sexta-feira e o de 2011, em um sbado. O primeiro dia do ano parece avanar um dia da semana a cada ano. Ser que descobrimos um padro?
  Verifiquemos quantas semanas h em um ano.
<53>
  Em um ano de 365 dias h 52 semanas e mais um dia. Assim, se determinado ano comea em uma quinta-feira, o 364 dia ser uma quarta-feira, completando a 52 semana. O 365 dia ser quinta-feira e o prximo ano comear em uma sexta-feira, avanando um dia.
  Parece haver, portanto, um padro, mas h uma pequena complicao. Por exemplo, de 2012 para 2013, o incio do ano avana dois dias da semana, porque 2012  um ano bissexto, tem 366 dias.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Em resumo, o padro  este: o dia 1 de janeiro avana um dia da semana de um ano para o seguinte, exceto quando o ano anterior  bissexto, caso em que o avano  de dois dias da semana.
  E como saber se um ano  bissexto?
  A resposta tambm envolve um padro numrico: os anos bissextos so os de nmeros mltiplos de 4, exceto quando esses mltiplos terminam em 00; nesse caso, o ano s ser bissexto se for mltiplo de 400.
  Os motivos para o complicado padro dos anos bissextos sero examinados mais adiante. Por enquanto, procure entender esse padro.

<R+>
 Exemplos
  1792 foi um ano bissexto, pois 1792  mltiplo de 4.
 1.7924=498; resto 0
  1900 no foi um ano bissexto: 1900  mltiplo de 4, mas ter-
<p>
  mina em 00 e no  mltiplo de 400.
 1.9004=475; resto 0
 1.900400=4; resto 300

<54>
 Conversando sobre o texto

 a) O que  um padro numrico? D um exemplo.
 b) Que padro voc percebe nesta sequncia: 1, 4, 9, 16, 
  25, ...?
 c) O nmero 7.234  divisvel por 5? Por qu?
 d) Os nmeros divisveis por 10 tm um padro. Qual ?
 e) Os nmeros divisveis por 2 tambm tm um padro. Qual ?
 f) Em que dia e ms cai o dia extra do ano bissexto?
 g) Voc nasceu em ano bissexto?
 h) Se o dia 1 de janeiro de 2013 cai numa tera-feira, em que dias da semana comeam os anos de 2014, 2015, 2016 e 2017?

 Problemas e exerccios

 1. A Federao Internacional dos Treinadores de Pulgas realiza um campeonato a cada quatro anos. O primeiro ocorreu em 1990, o segundo, em 1994, e assim por diante.
 a) Os nmeros 1990, 1994, 1998 e 2002 so mltiplos de 4, so mltiplos de 4 somados com 1, so mltiplos de 4 somados com 2 ou mltiplos de 4 somados com 3?
 b) Se o campeonato continuar se realizando a cada 4 anos, haver torneio em 2054?

 2. Leia a informao nos quadros _`[adaptados_`]. Depois, responda.

 13'8=234
 40119=21; resto 2

 a) 234  mltiplo de 13?
 b) 13  divisor de 234?
 c) 235  divisvel por 13?
 d) 235  divisvel por 18?
 e) 401  mltiplo de 19?
 f) 399  mltiplo de 19?
 g) 401  divisvel por 19?
 h) 403  divisvel por 19?

<55>
 3. Observe o clculo das primeiras potncias de base 3:

 31=3
 32=33=9
 33=333=27
 34=3333=81
 35=343=243
 36=353=729
 37=363=2.187
 38=373=6.561
 39=383=19.683

 a) No resultado das potncias de 3, o ltimo algarismo do nmero (algarismo das unidades) obedece a um padro. Explique esse padro.
 b) Se voc calculasse 32.000, qual seria o algarismo das unidades no resultado?

 4. Veja o que diz a professora:

_`[{a professora, apontando para um quadro-de-giz com as operaes 1004=25; 2004=50; 3004=75; 4004=100; ..., 1.0004=250, diz: 
"100  mltiplo de 4, por isso, 200 tambm . E 300, 400, ..., 900 e 1.000 tambm so"_`]

  Percebeu? Nmeros terminados em 00 so divisveis por 4. Assim, se quiser saber se 1.996  divisvel por 4, voc precisa verificar apenas se 96  divisvel por 4, porque voc j sabe que 1.900 .
 a) 1.996  divisvel por 4?
 b) 2022 ser ano bissexto? E 2032?
 c) 2100 ser ano bissexto?

 5. Pirmides so formas geom-
  tricas espaciais em que todas as faces, menos a base, tm de 
<p>
  ser triangulares. A base pode ser ou no triangular.

_`[{figuras adaptadas: Pirmide com a base tringular: 3 lados na base; Pirmide com a base quadrangular: 4 lados na base; Pirmide 
com a base pentagonal: 5 lados na base; Pirmide com a base hexagonal: 6 lados na base_`]

<56>
 a) Copie a tabela em seu caderno e, com base nas ilustraes de pirmides, complete-a.

_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de lados da base (N).
 2 coluna: Nmero de vrtices (V).
<p>
 3 coluna: Nmero de arestas (A).
 4 coluna: Nmero de faces (F).

<F->
pcccccclcccccclccccclcccc
l 1  l 2  l 3 l 4_
v------v------v-----v----_
l 3   l 4   l 6  l 4 _  
v------v------v-----v----_
l 4   l ...  l ... l... _
v------v------v-----v--- _
l 5   l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 6   l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 10  l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 20  l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 53  l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----#
<F+>

 b) Observando os nmeros N e V, voc nota um padro: o nmero V  sempre igual a N+1. Agora, observe os nmeros N e A. Que padro voc nota?
<p>
 c) Que relao existe entre os nmeros V e F?

 6. Acompanhe a explicao do garoto sobre a relao entre os nmeros N e F do exerccio anterior.

_`[{o garoto diz, apontando para uma pirmide de base quadrangular: "De cada lado da base sai um tringulo. So N faces triangulares. Como ainda tem a base, fico com N+1 faces"_`]

  Escreva uma explicao como essa para a relao que se observa entre N e V no caso das pirmides.

 7. Nos quadrados mgicos tambm podemos observar padres. O quadrado a seguir foi feito com os nmeros de 3 a 11. A soma dos nmeros em cada linha, em 
<p>
  cada coluna e nas duas diagonais  sempre 21.

<F->
pcccccclccccclccccc 
l 10  l 5  l 6  _    :o 21
v------v-----v-----_
l 3   l 7  l 11 _    :o 21
v------v-----v-----_
l 8   l 9  l 4  _    :o 21
v------v-----v-----#
  l      l    l    
  21   21   21
<F+>

  Diz a lenda que o primeiro quadrado mgico foi descoberto h 4.000 anos por um imperador chins, que viu uma tartaruga _`[no adaptada_`].
 a) No quadrado mgico da tartaruga, cada bolinha vale 1. Represente o quadrado com algarismos indo-arbicos.
 b) Qual  a soma mgica desse quadrado?
 c) Copie e complete em seu caderno este outro quadrado mgico:

<F->
pcccccclccccclccccc 
l 17  l 12 l 13 _    
v------v-----v-----_
l ...  l ... l 18 _    
v------v-----v-----_
l ...  l ... l ... _    
v------v-----v-----#
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<57>
 Problemas e exerccios para casa

 8. Considere os nmeros: 1.993, 2.010, 3.515 e 4.090. Quais so divisveis por:
 a) 2?
 b) 5?
 c) 10?

 9. Considere a sequncia 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...
 a) Que relao h entre essa sequncia e a dos mltiplos de 5?
 b) Qual  o dcimo nmero dessa sequncia?
 c) Qual  o 65 nmero dessa sequncia?

 10. Com base nos padres que voc j observou, informe quais frases so verdadeiras e quais so falsas.
 a) Todo mltiplo de 2 termina em 2.
 b) Todo mltiplo de 2  nmero par.
 c) Todo mltiplo de 5  nmero par.
 d) Todo mltiplo de 5 termina em 0 ou 5.
 e) Todo mltiplo de 10 termina em 0.
 f) Todo mltiplo de 10  nmero par.
 g) Todo nmero par  mltiplo de 10.
 h) Todo mltiplo de 10  mltiplo de 5 e de 2.

 11. Responda.
 a) 1.000  divisvel por 8?
 b) 2.000  divisvel por 8?
<p>
 c) 11.000  divisvel por 8?
 d) Verifique se  verdadeiro o seguinte padro: todo nmero terminado em 000  divisvel por 8.

_`[{use a calculadora_`]

 12. Calcule as potncias sucessivas de 2, isto , 21, 22, 23, ..., at 28. 
 a) Voc notou que o algarismo das unidades dos resultados obedece a um padro? Descreva-o.
 b) Se voc calculasse 22.005, qual seria o algarismo das unidades do resultado?
 c) Qual  o expoente da maior potncia de 2 que cabe no visor de sua calculadora? (Claro que voc pode us-la!)
<p>
 13. Copie e complete em seu caderno estas pilhas de nmeros, seguindo o padro proposto pelo garoto.

_`[{trs pilhas de cubos adaptadas, comeando sempre de baixo para cima; contedo a seguir_`]

 a) _`[{o menino diz apontando para a pilha de cubos adaptada: "O padro  este: a soma dos dois de baixo sempre d o de cima"_`]
 1 linha (base): 3; 4; 2; 5; 6
 2 linha: 7; 6; ...; ...
 3 linha: 13; ...; ...
 4 linha: ...; ...
 5 linha (topo): ...

 b) 1 linha (base): ...; ...; ...; ...; 1
 2 linha: ...; ...; ...; 2
 3 linha: ...; ...; 4
 4 linha: ...; 7
 5 linha (topo): 18
<p>
 c) _`[{o menino diz a respeito da pilha de cubos adaptada: "Aqui h uma regra a mais: Os nmeros de cada fileira tm de ser iguais. E a surgiro nmeros no naturais"_`]
 1 linha (base): ...; ...; ...; ...; ...
 2 linha: ...; ...; ...; ...
 3 linha: ...; ...; ...
 4 linha: ...; ...
 5 linha (topo): 56

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<58>
 14. Prismas so formas espaciais. Com exceo das bases, que so duas, suas outras faces so retngulos (ou paralelogramos, se o prisma for inclinado).

_`[{figuras adaptadas: Prisma de base triangular inclinado: 3 lados na base; Prisma de base quadrangular no inclinado: 4 lados na 
base; Prisma de base pentagonal inclinado: 5 lados na base; Prisma de base hexagonal no inclinado: 6 lados na base_`]

 a) Copie a tabela em seu caderno e, com base nas informaes sobre prismas, complete-a.

<F->
pcccccclcccccclccccclcccc
l 1  l 2  l 3 l 4_
v------v------v-----v----_
l 3   l 4   l 6  l 4 _  
v------v------v-----v----_
l 4   l ...  l ... l... _
v------v------v-----v--- _
l 5   l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 6   l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 10  l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 20  l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----_
l 45  l ...  l ... l ..._
v------v------v-----v----#
<F+>
<p>
 b) Analisando sua tabela, voc deve ter notado este padro: o nmero de faces  igual ao nmero de lados da base mais 2. Que padro pode ser estabelecido entre N e A? E entre N e V?

 15. Nos prismas, o nmero de faces  igual ao nmero de lados da base mais 2. Para explicar esse fato, comecemos assim: "De cada lado da base sai um retngulo (ou paralelogramo) ...". Copie e complete essa explicao.
<R->

<59>
 Padres e divisibilidade

  Quando no havia calculadoras, as pessoas usavam certos conhecimentos
matemticos que lhes permitiam fazer clculos extensos com mais rapidez. Por
exemplo, os critrios de divisibilidade permitiam saber se um nmero natural
 divisvel por outro, antes mesmo de se efetuar a diviso.
  Atualmente, esses critrios tm menos importncia porque existem as calculadoras,
mas eles ainda so teis no clculo mental. Alm disso,  interessante
estud-los por meio de padres. Descobrir padres  um tipo de raciocnio
muito til na Matemtica e nas cincias em geral.
  Voc j conhece regras de divisibilidade por 2, por 5 e por 10. E no problema
4, que voc j deve ter resolvido,  possvel perceber uma regra de divisibilidade
por 4. Vamos retomar a ideia.
  Observe a sequncia dos mltiplos de 4, isto , dos nmeros divisveis por 4:

<R+>
 0, 4, 8, 12, 16, 20, ...
 100, 104, 108, 112, 116, 120, ...
 200, 204, 208, 212, 216, 220, ...
<R->
<p>
  Nota-se um padro: de 100 em 100, os algarismos das unidades e das dezenas
se repetem. Isso acontece porque, como 100  mltiplo de 4, tambm
o so 200, 300, 400 etc. Assim, qualquer nmero inteiro terminado em 00 
mltiplo de 4.
  Com base nessa ideia, veja como verificar se um nmero  divisvel por 4:

<R+>
_`[{o menino diz: "56.148  divisvel por 4?". A menina responde: "56.100 . S falta verificar se 48 tambm "_`]
<R->

  Raciocnios como esse conduzem a esta generalizao:

<R+>
 Um nmero  divisvel por 4 quando seus dois ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 4.
<R->
<p>
  Uma regra de divisibilidade por 8 pode ser descoberta de maneira muito parecida. Veja:

<R+>
 0, 8, 16, 24, ... 104, 112, 120, ...
 1.000, 1.008, 1.016, 1.024, ..., 1.104, 1.112, 1.120, ...
 2.000, 2.008, 2.016, 2.024, ..., 2.104, 2.112, 2.120, ...
<R->

  Voc deve ter notado um padro. Com base nele, podemos obter um critrio de divisibilidade por 8.
<60>
  Nem sempre a simples observao das sequncias de mltiplos permite descobrir regras de divisibilidade. Veja, por exemplo, a sequncia dos mltiplos de 3:

<R+>
 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...
<R->

  No se percebe um padro que leve a uma regra de divisibilidade por 3. Nesse caso, para deduzir uma regra,  necessrio recorrer a alguns conhecimentos que voc ainda no adquiriu. Por isso, agora apresentaremos apenas a regra. Voc ver a explicao nos anos seguintes, quando j estiver mais familiarizado com a lgebra.

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 3 se a soma de seus algarismos for divisvel por 3.

 Exemplos:

 o 378  divisvel por 3?
 3+7+8=18
 183=6; resto 0
 Se 18  divisvel por 3, ento 378 tambm .

 o 1.111  divisvel por 3?
 1+1+1+1=4
 43=1; resto 1
  Se 4 no  divisvel por 3, ento 1.111 tambm no .
<R->

  A regra de divisibilidade por 9  muito parecida com a regra de divisibilidade por 3. Tambm deixaremos sua justificativa para os anos seguintes.

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 9 se a soma de seus algarismos for divisvel por 9.

 Exemplo

 o 4.068  divisvel por 9?
 4+0+6+8=18
 189=2; resto 0
   Se 18  divisvel por 9, ento 4.068 tambm .
<R->

  Para completar os critrios de divisibilidade por nmeros de 1 a 10, faltam os critrios por 1, 6 e 7.
  A regra para o 1  fcil. A regra para o 6 voc descobrir nas prximas atividades. Para o 7, no existe nenhuma regra de divisibilidade simples. Por isso, se voc quiser saber se um nmero  divisvel por 7, o melhor  efetuar a diviso.

<61>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) O que  critrio de divisibilidade?
 b) 56.148  divisvel por 4? Justifique sua resposta.
 c) Que padro voc observou na sequncia dos mltiplos de 8?
 d) Complete a frase, formulando uma regra de divisibilidade: Um nmero natural  divisvel por 8 quando....
 e) 37.246  divisvel por 8?
 f) Qual  a regra de divisibilidade por 3? D um exemplo.
 g) 1.881  divisvel por 9?
 h) Qual  a regra de divisibilidade por 1?
 i) Sabemos que 1.700  divisvel por 17. E 1.723?

 Problemas e exerccios

 16. Entre os nmeros 1.342, 3.141, 6.258 e 10.048:
 a) quais so divisveis por 3?
 b) quais so divisveis por 8?
 c) quais so divisveis por 9?
 d) quais so divisveis por 5?
 e) quais so divisveis por 1?

 17. Faa o que se pede.
 a) Copie e complete o diagrama _`[no adaptado_`] em seu caderno, escrevendo no crculo da esquerda os nmeros divisveis por 2 menores que 30 e, no da direita, os nmeros divisveis por 3 menores que 30. *Dica*: Alguns nmeros devem ficar na regio comum aos dois crculos.
 b) Os nmeros escritos na regio comum aos dois crculos so mltiplos de 2, de 3 e de que outro nmero?
 c) O nmero 60 voc escreveria na regio amarela, na azul ou na verde?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 18. Quais dos seguintes critrios de divisibilidade so corretos? *Dica*: Para responder ao item *b*, examine antes o exerccio anterior.
 a) Todo nmero divisvel por 7 termina em 7.
 b) Todo nmero divisvel por 6  divisvel tambm por 2 e por 3.
 c) Todo nmero divisvel por 6  par.
 d) Todo nmero divisvel por 4  um nmero par cuja metade  divisvel por 2.
 e) Todo nmero divisvel por 9  tambm divisvel por 3.
 f) Todo nmero divisvel por 3  tambm divisvel por 9.

 19. Qual  o menor algarismo que devemos colocar no lugar de y, para que o nmero 57y, de trs algarismos, seja:
 a) divisvel por 3?
 b) divisvel por 4?
 c) divisvel por 3 e por 4?

<62>
 Resoluo

 a) 5+7=12, que  divisvel por 3. Portanto, substituindo y por 0, obtemos 570, que  divisvel por 3.
 b) 704=17; resto 2
  Como essa diviso d resto 2, a diviso 714 d resto 3 e 724 d resto 0. Portanto, substituindo y por 2, obtemos 572, que  divisvel por 4.
 c) 572 e 576 so divisveis por 4, mas apenas 576  divisvel por 3 (5+7+6=18). Portanto, substitumos y por 6.

 20. Que algarismos devemos colocar no lugar de y para que o nmero 53y, de trs algarismos, seja:
 a) divisvel por 2?
 b) divisvel por 3?
 c) divisvel por 4?
 d) divisvel por 5?
 e) divisvel por 6?
 f) divisvel por 7?

 21. Examine a conta:

_`[{num quadro-de-giz aparece o seguinte clculo: 1124=27; resto 4_`]

  H um erro nesse clculo. O resto deve ser sempre menor que o divisor. No clculo correto, obtm-se quociente 28 com resto zero. Agora, veja a seguir a diviso que a Amlia tenta fazer.

_`[{a menina, escrevendo no quadro-
  -de-giz a operao 30=0, diz: "No d 0 porque 00  0 e o resto seria 3. No d 3 porque 
30  0 e o resto seria 3"; a partir da operao 30 ela diz: "Como fao? O resto seria sempre 3, mas ele precisa ser menor que 0!"_`]
<p>
 a) Voc acha que ela vai encontrar o resultado dessa diviso? Por qu?
 b) O nmero 3  divisvel por 0?
 c) Entre os nmeros 1, 2, 5, 10, 600 e 10.000, qual  divisvel por 0?

<63>
 Problemas e exerccios para casa

 22. Lia est fazendo um resumo das regras de divisibilidade que aprendeu:

 Divisibilidade
 o por 2: os nmeros pares.
 o por 3: aqueles cuja soma dos algarismos  divisvel por 3.
 o por 4: ...

  Copie em seu caderno as anotaes que ela j fez e complete o resumo escrevendo as regras de divisibilidade por 4, 5, 6, 8, 9 e 10.
<p>
 23. Leia as informaes:
  5.638  um nmero de quatro algarismos.
  5.653  um nmero de quatro algarismos no distintos, porque o 5 aparece mais de uma vez.
  0632 no  considerado nmero de quatro algarismos, porque o 0 est  esquerda.
  Responda por escrito no caderno.
 a) Qual  o maior nmero divisvel por 4 que possui quatro algarismos?
 b) Qual  o maior nmero divisvel por 4 que possui quatro algarismos distintos?

 24. Qual  o menor nmero de quatro algarismos distintos mltiplo de:
 a) 6?
 b) 8?
 c) 9?
 d) 3?
<p>
 25. Agora, algumas questes sobre nmeros de trs algarismos iguais.
 a) Quais deles so divisveis por 3?
 b) Quais deles so divisveis por 6?
 c) Escreva todos os que so divisveis por 9.
 d) Escreva todos os que so divisveis por 4 e por 5.

 26. Posso escrever 18 como produto de dois fatores de vrios modos:
 18=118=29=36
  (181, 92 ou 63 so as mesmas maneiras, s mudando a ordem dos fatores).
 a) Mostre todas as maneiras de escrever 23, 24, 30, 31, 64 e 65 como produto de dois fatores. (Os critrios de divisibilidade ajudam bastante.)
 b) Chamam-se *primos* os nmeros que podem ser escritos de uma s 
<p>
  forma como produto de dois fatores. Quais so os nmeros primos entre 20 e 30?

 27. Faa o que se pede.
 a) Resolva o enigma proposto por Joo:

_`[{joo diz: "Adivinhe a minha idade. Este ano ela  um nmero mltiplo de 7. O ano que vem ser mltiplo de 9. Bem, pela minha aparncia, v-se que no sou muito velho!"_`]

 b) Invente e escreva um enigma sobre sua idade parecido com o proposto por Joo.
<R->

<64>
 Possibilidades e padres

  Em nosso pas, cada placa de veculo automotor tem uma sequncia de trs letras e quatro algarismos, constituindo um cdigo identificador. Quantos cdigos 
<p>
diferentes podem existir nas placas de automveis de nosso pas?

<R+>
_`[{placas de veculos automotores adaptadas em forma de tabela em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Estado da federao brasileira.
 2 coluna: Cidade
 3 coluna: Numerao composta por trs letras e quatro algarismos.

 Legenda: As placas de veculos automotores tm trs letras quaisquer do alfabeto seguidas de quatro algarismos quaisquer de nosso sistema de numerao.

 PR; COLOMBO; AJE-1846
 SC; ITAJA; MWB-8323
 SP; SO PAULO; DPS-9285
<R->

  Esse  um problema de importncia prtica que parece ter uma soluo muito trabalhosa.  preciso contar todas as possibilidades de cdigos, que devem ser milhes!
  Um bom caminho para resolver problemas de contagem de possibilidades  analisar um problema mais simples e descobrir um padro. Usando esse padro, resolve-se o problema mais complicado.

 Exemplo 1

  Considere cdigos de placas formados apenas por uma das letras X, Y e Z seguida por somente um dos algarismos de 1 at 5. Quantos so esses cdigos?
 X4; Y1; Y5; Z3; X2
  Nessa situao, os cdigos so poucos e todos podem ser representados numa tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada em seis colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Letras 
 2 coluna: Combinao das letras com 1
<p>
 3 coluna: Combinao das letras com 2 
 4 coluna: Combinao das letras com 3
 5 coluna: Combinao das letras com 4
 6 coluna: Combinao das letras com 5

<F->
X; X1; X2; X3; X4; X5.
Y; Y1; Y2; Y3; Y4; Y5.
Z; Z1; Z2; Z3; Z4; Z5.
<F+>
<R->

  Combinamos 3 letras com 5 algarismos. O nmero de cdigos , portanto, 35=15.
  Se, nessas placas com apenas uma letra e um algarismo, tivssemos 26 letras e dez algarismos, o raciocnio seria o mesmo. Poderamos fazer uma tabela similar, porm bem maior, contendo 2610, isto , 260 cdigos. Voc percebe um padro nesse tipo de problema?
<p>
 Exemplo 2

  Quantos cdigos de 3 letras so possveis, usando apenas as letras X e Y?
 XYY; YXY; XXX
<65>
  Nas tabelas, combinamos duas possibilidades, as da linha de cima e as da coluna da esquerda. Havendo trs letras possveis, fica difcil representar as combinaes em tabelas. Nesse caso, vamos usar um esquema para contar as possibilidades.

_`[{esquema adaptado_`]

<R+>
 H duas possibilidades para a primeira letra:
 ...: X e Y
 Para cada uma delas, h duas possibilidades para a segunda letra: 
 X: XX e XY
 Y: YX e YY
<p>
 Para cada uma das maneiras de escrever as duas primeiras letras, h duas possibilidades para a terceira letra:
 XX: XXX e XXY
 XY: XYX e XYY
 YX: YXX e YXY
 YY: YYX e YYY
<R->

  Esse esquema chama-se rvore de possibilidades. Se voc girar 90 a pgina, ver que se parece mesmo com uma rvore.
  O nmero de cdigos possveis aparece no final da rvore,  direita. Nesse caso, so oito.
  As possibilidades tambm poderiam ser contadas da seguinte maneira:
<R+>
 o a rvore comea com dois ramos, que correspondem s duas possibilidades para a primeira letra;
 o de cada um desses ramos partem outros dois, o que corresponde a 22, ou seja, 4 possibilidades para as duas primeiras letras;
<p>
 o de cada um desses quatro ramos saem dois novos ramos; isso quer dizer que o total de possibilidades  222=23=8.
<R->
  Esse raciocnio nos permite perceber um padro nesse tipo de problema. Se os cdigos de trs letras fossem formados com as cinco vogais, o padro seria o mesmo e faramos uma rvore similar. Ela comearia com cinco galhos, de cada um partiriam outros cinco, e assim por diante.
  Tabelas e diagramas em forma de rvore ajudam a contar as possibilidades. Perceber um padro nos problemas simples ajuda a resolver os mais difceis. Nos casos examinados, h um padro multiplicativo para obter o total de possibilidades. Mas cuidado! Como voc vai ver nos exerccios, nem sempre  possvel usar a multiplicao para contar as possibilidades de uma situao.

<66>
<p>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Por que  importante saber quantos cdigos de placas de automveis existem?
 b) O primeiro problema do texto (dos cdigos formados por X, Y e Z e pelos nmeros de 1 a 5) tambm pode ser resolvido por um esquema em forma de rvore. Desenhe esse esquema no caderno.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 c) Quantas sequncias de trs letras podemos formar considerando apenas as cinco vogais? Justifique sua resposta.
 d) Como indicar a resposta do problema anterior usando uma potncia?
 e) Um desafio: de quantas maneiras diferentes uma pessoa pode levantar dois dedos da mo direita?
 f) H alguma multiplicao na resposta da pergunta anterior?

 Problemas

_`[{para as atividades de 28 a 30, pea orientao ao professor_`]

 28. O 7 ano B formou um time feminino de vlei e precisa escolher as cores do uniforme. A camiseta pode ser amarela, cinza ou vermelha. O *short* pode ser verde, azul ou laranja.
 a) Faa a tabela que mostra todas as possibilidades de uniforme.
 b) Quantas so essas possibilidades?
 c) Se houvesse seis cores possveis para a camiseta e oito cores para o short, quantas possibilidades de uniformes bicolores haveria?
<p>
 29. Na ilustrao _`[no adaptada_`], do lago at o bosque, passando pela colina, h vrios caminhos. O caminho vermelho  o 1c.
 a) Parte da rvore de possibilidades _`[no adaptada_`] j est construda. Desenhe a rvore completa.
 b) Quantos so os caminhos do lago at o bosque?
 c) Se houvesse nove caminhos do lago at a colina e sete da colina at o bosque, qual seria o total de caminhos do lago at o bosque?

 30. Os jogadores A, B, C e D disputam certo torneio de pingue-pongue. Cada jogador enfrenta os adversrios apenas uma vez. Veja a rvore que mostra as partidas. Note que no saem ramos de D, porque as partidas que ele disputa j apareceram em ramos anteriores.
<p>
_`[{rvores de possibilidades adaptada em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Letras
 2 coluna: Ramos formados

 A; {a{b, {a{c, {a{d.
 B; {b{c, {b{d.
 C; {c{d.
 D; nenhum ramo.

<67>
 a) Quantas so as partidas desse torneio?
 b) Imagine um torneio como esse, mas com 6 jogadores: A, B, C, D, E e F. Desenhe a rvore de possibilidades e diga quantas partidas haver.

 31. Nas rvores do problema anterior voc pode perceber um padro. Ser que ele se manteria para um torneio com mais jogadores? Quantas partidas haveria num torneio com dez jogadores?

 32. Um membro do servio secreto de certo pas, chamado LIN, manda mensagens em cdigo. As palavras do cdigo tm trs letras e so formadas com as letras L, I, N.
 a) Escreva as trs palavras comeadas por LL.
 b) Escreva todas as palavras comeadas por LI.
 c) Quantas so as palavras comeadas por L?
 d) No total, quantas palavras podem ser formadas nesse cdigo?
<R->

 Ao/Investigao

 Possibilidades no jogo-da-velha

  O jogo voc j deve conhecer.
  Vamos combinar que o primeiro jogador marca *x* e o segundo, o.
  Suponha que o primeiro comece assim:
<p>
 Jogada 1:

<F->
pccccclccccclccccc
l     l     l  x  _
v-----v-----v-----_
l     l     l     _
v-----v-----v-----_
l     l     l     _
v-----v-----v-----_
<F+>

<68>
  Acompanhe as jogadas seguintes:
 
 Jogada 2:

<F->
pccccclccccclccccc
l     l o  l  x  _
v-----v-----v-----_
l     l     l     _
v-----v-----v-----_
l     l     l     _
v-----v-----v-----_
<F+>
<p>
 Jogada 3:

<F->
pccccclccccclccccc
l     l o  l  x  _
v-----v-----v-----_
l     l x   l     _
v-----v-----v-----_
l     l     l     _
v-----v-----v-----_
<F+>

 Jogada 4:

<F->
pccccclccccclccccc
l     l o  l  x  _
v-----v-----v-----_
l     l x   l     _
v-----v-----v-----_
l o  l     l     _
v-----v-----v-----_
<F+>
<p>
 Jogada 5:

<F->
pccccclccccclccccc
l     l o  l  x  _
v-----v-----v-----_
l     l x   l     _
v-----v-----v-----_
l o  l     l x   _
v-----v-----v-----_
<F+>

  Nesse estgio, o segundo jogador perde, porque o primeiro jogador tem duas opes para fazer a trilha.
  Agora que voc viu o exemplo, veja qual  sua tarefa:
  Considere que o primeiro jogador comeou marcando o canto superior direito, como no exemplo dado.
  Mostre que, das oito possibilidades do segundo jogador, ele perde em sete. (Mostre essas derrotas em sequncias de figuras, como no exemplo dado.)
<p>
  Mostre qual  a nica jogada em que o segundo jogador no perde e justifique.
  Apresente um relatrio com todas as concluses obtidas.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Problemas para casa

<R+>
_`[{use a calculadora_`]

 33. Leia com ateno:
  Nas placas de automveis de nosso pas h trs letras escolhidas entre 26 possibilidades. O total de grupos de trs letras  262626. Cada um desses grupos pode ser combinado com um dos nmeros de 0000 at 9.999 para formar o cdigo da placa. H 10.000 nmeros nessa sequncia. Usando as informaes dadas, quantos so os cdigos possveis?
<p>
 34. Voc quer formar slabas de duas letras. A primeira letra  L ou M; a segunda  uma das vogais. 
  Parte da rvore de possibilidades j est construda. 
  Copie e complete-a em seu caderno.

_`[{figura adaptada_`]

 L: LA, LE, LI, LO, LU
 M: ..., ..., ..., ..., ...

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 35. Voc quer formar slabas de duas letras. A primeira letra  L, M ou N; a segunda  uma das vogais. Quantas slabas voc pode formar?
<69>
 36. No restaurante Grelhados ao Ponto, cada prato  composto de um grelhado, uma salada e um molho. So oferecidos quatro tipos de grelhado: carne de vaca, frango, peixe e carne de porco. Tambm so oferecidos quatro tipos de salada: verduras, tomates com ervilhas, palmito e batata. Para os molhos h duas escolhas: o italiano e o de mostarda. Quantos pratos diferentes podem ser montados nesse restaurante?

 37. De olhos vendados, a menina vai pegar uma bola e depois outra. Veja o que pode ocorrer, se a primeira bola for azul:

_`[{esquema adaptado em forma de tabela em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: 1 bola
 2 coluna: 2 bola
 3 coluna: Combinaes formadas

 Legenda:
 A: azul
 V: vermelha
 P: preta
<p>
<F->
pcccccclccccclcccccccc
l  1 l 2 l  3   _
v------v-----v--------_
l A   l A  l A, A _
v------v-----v--------_
l A   l V  l A, V _
v------v-----v--------_
l A   l P  l A, P _
v------v-----v--------_
<F+>

_`[{em cima de uma mesa constam trs bolas brancas, duas bolas vermelhas e uma bola preta_`]

 a) Desenhe a rvore de possibilidades completa.
 b) A menina pode sortear uma bola azul e outra preta, ou uma vermelha e outra azul, ou uma preta e outra azul etc. H vrias possibilidades. Quantas ao todo?
<p>
 c) Multiplicando o nmero de cores pelo de bolas sorteadas (32), teramos o total de possibilidades?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 38. Invente e escreva um problema que exija a contagem de possibilidades. Depois, resolva-o.
 39. Um pequeno desafio! Em um programa de TV, o candidato comea sorteando um nmero entre 20 e 30 (ou seja, o nmero sorteado pode ser 21, 22, 23, ..., 28, 29). Depois, sorteia outro nmero, este entre 1 e 10. Ele ganha um prmio somente quando o primeiro nmero  divisvel pelo segundo. Quantas possibilidades ele tem de ganhar? Quantas de no ganhar? *Dica*: se ele sortear 21, h duas possibilidades de ganhar e seis de no ganhar.
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  identificar padres em sequncias numricas;
  aplicar os critrios de divisibilidade;
  resolver problemas que envolvem contagem de possibilidades.
<R->

<70>
Um toque a mais

Um padro que entrou para a 
  histria

  Um dos maiores matemticos de todos os tempos foi o alemo Karl Friedrich
Gauss, que viveu de 1777 at 1855. Dentre as pessoas que se dedicam
s cincias exatas, Gauss  to famoso quanto Arquimedes, Newton e Einstein.
Suas descobertas matemticas so inmeras, mas infelizmente so muito complicadas
para serem discutidas neste ano. Quando era um menino de uns sete
ou oito anos, Gauss fez uma interessante descoberta. Essa podemos analisar.
  Dizem que Gauss tinha um professor muito severo, que dava lies exageradas.
Um dia, ele passou um exerccio bem trabalhoso a seus alunos...

<R+>
_`[{um menino e uma menina sentados assistem ao professor que diz: "Agora, vamos fazer um exerccio de clculo". O professor escreve 
no quadro-de-giz uma soma e diz: "Somem todos os nmeros de 1 a 100". O professor mal acabara de passar a tarefa e seu aluno Karl 
Friedrich Gauss anunciava a resposta: "Est aqui o resultado". O professor pensa: "Como  que Gauss fez as contas to depressa?"_`]
<R->

<71>
  Embora fosse bom em clculos, Gauss no fez essa adio to comprida. O fato  que ele descobriu um padro na adio e, assim, pde fazer o clculo com uma estratgia especial. Para entender o padro, pense nesta soma, mais simples que aquela:
 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
  Em vez de somar 1 com 2, depois com 3, depois com 4 etc. vamos somar dois nmeros de cada vez, das pontas para o meio. Veja:

<R+>
_`[{esquema adaptado_`]

 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
 1+10=11
 2+9=11
 3+8=11
<R->

  Percebeu o padro? 1+10=11, 2+9=11, 3+8=11... Todas as somas vo dar o mesmo valor, 11!
  Utilizando esse padro, podemos raciocinar assim: como h cinco somas
desse tipo, o resultado de 1+2+ ... +9+10  511=55.
  O jovem Gauss aplicou essa estratgia  soma dos nmeros de 1 a 100
e, assim, assombrou um exigente professor! Comeava a uma carreira que
assombraria o mundo!
  Voltando ao padro de Gauss, veja que ele pode ser utilizado tambm
quando h uma quantidade mpar de nmeros. Por exemplo, na adio
seguinte: 1+2+3+4+5+
 +6+7+8+9+10+11, a soma das pontas  12. H cinco dessas somas e sobra a parcela do meio, 6. Podemos considerar que h 5,5 somas iguais a 12. (Note que 5,5  metade do nmero de parcelas, 11.) A soma d 5,512=66.
  Para explorar um pouco mais o padro de Gauss, propomos que voc resolva quatro enigmas:
<R+>
 1 Que valor Gauss obteve para a soma dos nmeros naturais de 1 at 100?
 2 Calcule 101+102+103+ ... +198+199+200.
 3 Usando o padro de Gauss, a soma dos nmeros naturais de 1 
<p>
  at 31  igual  multiplicao de 32 ou seja, 31+1 por quanto?
 4 Este  mais difcil! Some todos os nmeros pares de 2 at 200.
<R->

               oooooooooooo
<P>
<72>
Captulo 4

Operaes com nmeros 
  fracionrios

Operaes com nmeros decimais

  Neste captulo, seus conhecimentos sobre nmeros fracionrios sero revisados e ampliados. Esses nmeros aparecem na forma de frao ou na decimal.
Comearemos pela forma decimal.
  Como voc j sabe, os nmeros decimais (aqueles com vrgula) e os nmeros
naturais so escritos, todos eles, no sistema decimal posicional. Por
isso, os clculos efetuados com os nmeros decimais so parecidos com os
que voc conhece para os naturais.
  Veja o exemplo de uma adio:

<R+>
 3,751: 3 unidades, 7 dcimos, 5 centsimos e 1 milsimo.
 21,27: 2 dezenas, 1 unidade, 2 dcimos e 7 centsimos.
 3,751+21,27=25,021
<R->
<p>
  Note que somamos milsimos com milsimos, centsimos com centsimos,
dcimos com dcimos e assim por diante.
  Agora, acompanhe uma subtrao de nmeros decimais. Repare que
usamos as mesmas ideias da subtrao de nmeros naturais, salvo a escrita
7,00 no lugar de 7.

<R+>
_`[{a professora, apontando para um quadro-de-giz com a operao 7-2,22=4,78, diz: "Notou que sete  igual a 7,00?". O menino diz: 
"Claro! Acrescentando zero dcimo e zero centsimo, nada muda"_`]
<R->

<73>
  Para efetuar multiplicaes de nmeros decimais, tambm recorremos s multiplicaes de nmeros naturais, que j conhecemos. Como exemplo, vamos efetuar 1,30,25. 
<p>
Primeiro, compreenda a lgica do processo.

<R+>
_`[{esquema adaptado_`]

 Fazendo 0,25100 e 1,310, obtemos...
 0,251,3:
 0,25100=25
 1,310=13
 ... uma multiplicao de nmeros naturais.
 2513=325
 No final, para compensar as multiplicaes por 100 e por 10, o resultado  dividido por 1.000.
 3251.000=0,325
<R->

  Agora veja como se faz isso resumidamente, sem registrar todas as ideias:

<R+>
_`[{a professora diz: "Multiplicamos os dois nmeros sem considerar as vrgulas". Aponta para o quadro-de-giz com a operao 
0,251,3=0,325 e diz: "Colocamos a vrgula no final. Os fatores tm, juntos, trs casas decimais. O produto tambm"_`]
<R->

  Resumindo:
<R+>
 o multiplicamos os dois nmeros como se fossem naturais, ignorando as vrgulas;
 o no produto, colocamos tantas casas decimais quantas tm os dois fatores juntos.
<R->

  Agora, ateno! s vezes acontecem surpresas na multiplicao de decimais. Observe:

<R+>
_`[{a menina, apontando para o quadro-de-giz com a operao 430,5=21,5, diz: "Que esquisito! Multiplicamos o 43 e o resultado  menor 
que 43". O menino diz tambm apontando para o quadro: "Acho que  porque voc multiplicou por 0,5.  s meia vez o 43"_`]
<R->
<p>
  A seguir, voc vai exercitar os clculos apresentados e us-los em situaes muito comuns no dia-a-
 -dia.

<74>
 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Quais so os nmeros naturais?
 b) Explique por que nmeros decimais e fraes so chamados tambm nmeros fracionrios.
 c) Na adio do incio do captulo, o que significa o 1 "pequenininho" sobre o 7 _`[em tinta_`]?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 d) Na subtrao, por que se escreveu 7,00 no lugar de 7?
 e) Veja esta conta: 0,254,5
  Explique como devemos efetu-
  -la. Mas no a efetue, apenas explique.
<p>
 f) Veja as multiplicaes: 0,41,2 e 412. O que elas tm de parecido? E de diferente?
 g) Se eu multiplicar 78 por 0,25, o produto ser maior ou menor que 78? Justifique a sua resposta.

 Problemas e exerccios

 Hoje contamos com a calculadora para fazer contas trabalhosas, mas seria perda de tempo us-la em clculos simples. Por isso, ainda  importante compreender e dominar o clculo escrito.
 Assim, aproveite o captulo para pratic-lo. S use calculadora se houver indicao para isso.

 1. Multiplicando 721 por 369, o resultado  266.049. Com base nessa informao, descubra qual  o resultado das multiplicaes seguintes, sem fazer as contas.
 a) 36,9721 
 b) 36,97,21
 c) 0,3697,21 
 d) 3,697,21
 e) 3,690,721
 f) 0,3690,721

 2. Veja os truques que Lus usa para facilitar clculos.

_`[{lus, apontando para o quadro-
  -de-giz com a operao 2,5'
  '1,5'4,3=, diz: "4 vezes 2,5 eu fao de cabea". Agora apontando para o 
quadro com a operao 2,5'1,5'4,3=10'4,5=, diz: "E 3 vezes 1,5 d 4,5"; apontando para o quadro com a operao 2,5'1,5'4,310'
  '4,5=45, diz: "Pronto"_`]

  Faa como Lus. Associe os fatores da maneira mais conveniente para efetuar mentalmente.
 a) 1,540,52 
 b) 0,50,75220 
 c) 0,70,3254 
 d) 0,9250,18
<75>
<p>
 3. Que nmero vai aparecer no visor "A PAGAR" da balana?

_`[{balana digital adaptada:
  Em cima da balana h um pedao de queijo. No visor est escrito: preo de 1 kg: 22,00 e peso kg: 1,400_`]

 Resoluo

 Se o pedao de queijo tivesse, por exemplo, 3 kg, voc multiplicaria 3 por 22, no ? No problema, o pedao tem 1,4 kg.  um nmero com vrgula, mas o raciocnio  o mesmo.
 No visor aparecer 30,80.
 221,4=30,8

 4. O preo de um quilograma de certo produto  R$12,50. Calcule o preo de:
 a) 1,6 kg; 
 b) 0,4 kg.
<p>
 5. O quadrado e o retngulo foram desenhados sobre uma malha _`[no adaptada_`] com quadradinhos de 1 cm de lado.

_`[{figuras adaptadas_`]
 Dimenses do quadrado: 2,5 cm por 2,5 cm.
 Dimenses do retngulo: 5,6 cm de comprimento por 2,25 cm de largura.

 a) D a rea aproximada das duas figuras, contando quantos quadradinhos de 1 cm2 cabem em cada uma.
 b) D a rea de cada uma, multiplicando largura por altura.
 c) Suas respostas da parte *a* esto prximas das respostas da parte *b*?

 6. Calcule o valor das expresses. Lembre-se de comear efetuando os clculos dentro dos parnteses. Observando bem, no vai dar muito trabalho.
<p>
 a) 18-(7,4-3,5+2) 
 b) 18-(7,4-3,5+2)2 
 c) 5[18-(7,4-3,5+2)2]
 d) 5[18-(7,4-3,5+2)2]-
  -12,33

<76>
 Problemas e exerccios para casa

 7. Efetue.
 a) 1,20,08
 b) 3,20,25
 c) 0,150,12
 d) 123,456790,9

_`[{a professora diz: "Esta conta  enorme, mas o resultado  interessante!"_`]

 8. Faa o que se pede.
 a) O clculo A est errado. Explique por que, sem efetu-lo.
 A- 30,75,21=15,9947
 b) O clculo B est correto, mas no produto aparecem trs 
<p>
  (em vez de quatro) casas decimais. Por qu?
 B- 2,256,22=13,995

_`[{o professor diz: "No exerccio 9 aparecem potncias. V ao dicionrio e veja o que  potncia e expoente antes de faz-
  -lo"_`]

 9. Calcule o valor das expresses. Tente fazer cada conta mentalmente. Vale a pena porque voc desenvolver considerveis habilidades numricas. (Para recordar: 0,72=0,70,7.)
 a) 3-(0,72+0,4)2
 b) 1,52-(2-0,52)
 c) 1-(0,7+0,30,7)
 d) 42,5-0,12100

 10. Qual  o total a pagar que o visor da bomba de gasolina deve mostrar?
<p>
_`[{figura da bomba de gasolina adaptada_`]
 Visor:
 Preo por litro: 2,399
 Litros: 18,5
 Total a pagar: ...

 11. _`[{cartaz adaptado:
  Um homem voando em cima de um tapete que anuncia: "Tapetes. 10,50 dlares por m2. Vrios tamanhos"_`]

  Calcule quantos dlares custa:
 a) um tapetinho retangular de 0,4 m por 0,8 m;
 b) um tapeto retangular de 3,5 m por 2,2 m.

 12. Uma padaria vende em mdia 200 bengalas de po por dia. A receita que o padeiro usa para fazer po pede 0,45 kg de farinha de trigo por bengala. Para formar um estoque de farinha que 
<p>
  dure 15 dias em mdia, quantas sacas de 60 kg devem ser compradas?
<R->

<77>
Operaes com nmeros decimais: 
  diviso

<R+>
_`[{uma menina, olhando para o quadro-de-giz onde est a conta 3,20,25, diz: "Ih! Essa diviso eu no sei!". O menino diz: "Acho que
tem de cortar as vrgulas!". A professora diz: " quase isso. Eliminamos as vrgulas, mas no imediatamente. Leia o texto"_`]
<R->

  Para dividir decimais, usamos uma propriedade da diviso. Veja o exemplo:

 427=6
 4210=420 e 710=70
 42070=6
 42100=4.200 e 7100=700
 4.200700=6
<p>
  Percebeu? Multiplicar dividendo e divisor por um mesmo nmero no altera o quociente. Usando esse fato, podemos efetuar 4,20,7 aps multiplicar os dois nmeros por 10. Obtemos 427=6. Isto , obtemos uma diviso de nmeros naturais, que  bem conhecida!
  Veja, agora, como efetuar 3,20,25.

<R+>
<F->
3,20,25
3,2100=320
0,25100=25
32025
Multiplicamos dividendo e divisor por 100.

32025=1; resto 7
Eliminadas as vrgulas, comea a diviso.

32025=12; resto 20
E agora? Como continuar?
<p>
32025=12; resto 200 dcimos.
As 20 unidades so trocadas por 200 dcimos.

32025=12, ... (dcimos); resto 200 dcimos.
No quociente, teremos dcimos tambm.

32025=12,8; resto 0
E fim!
<F+>
<R->

<78>
  Quer mais um exemplo? Observe:

<R+>
<F->
0,360,002
Multiplicando os dois nmeros por 1.000, ficamos com...

0,3600,002
Agora,  s dividir 360 por 2.

0,3600,002=180; resto 0

Concluso: 
0,3600,002=180.
<F+>
<R->

<R+>
_`[{a menina, ao observar no quadro-de-giz a operao 0,3600,002=180, diz para a professora: "Como  que dividindo dois nmeros to 
pequenos, deu um resultado to grande?". A professora diz: "Na diviso, voc calculou quantas vezes 0,002 cabe em 0,36. Como 0,002  
muito pequeno, ele cabe 180 vezes em 0,36"_`]
<R->

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Explique com suas palavras qual  a propriedade da diviso que usamos para dividir nmeros decimais.
 b) Vejamos se voc consegue dividir mentalmente:
 0,80,2 
 3,20,4 
 230,1 
 4,51,5 
 2,50,5 
 70,01
 c) Se eu dividir 12 por um outro nmero, o resultado poder 
<p>
  ser maior que 12? Voc consegue dar um exemplo?
 d) Um nmero natural pode ou no ser divisvel por outro. Mas, quando tratamos de dois nmeros decimais, ningum se preocupa em saber se um  divisvel pelo outro. Por qu?
 e) Agora  por escrito. Pense num problema que se resolva com uma diviso em que aparea nmero decimal e escreva-o. Depois, alguns alunos vo ler seu pro-
  blema.

_`[{um homem com uma calculadora na mo pensa: "590,347210,05931=..."_`]

<79>
 Problemas e exerccios

 13. Copie e complete em seu 
  caderno.

_`[{o professor diz: "No  preciso fazer conta nenhuma para completar a tabela!"_`]

 !::::::::::::::::::::::
 l 958.500852=1.125 _
 r::::::::::::::::::::::w
 l 9.5858,52='''     _
 r::::::::::::::::::::::w
 l 9.58585,2='''     _
 r::::::::::::::::::::::w
 l 95.85085,2='''    _
 h::::::::::::::::::::::j

 14. Divida at obter resto zero.
 a) 0,360,2 
 b) 2,50,25 
 c) 1,50,003 
 d) 0,931,2

 15. Veja a diviso de 1 por 20, efetuada passo a passo.

 1~20
 1~20=0,
 10 dcimos 20=0,0
 100 centsimos 20=0,05
<p>
  Agora, efetue estas divises, que se parecem com a anterior.
 a) 150 
 b) 1,525

 16. Decifre as etiquetas de supermercado que vm a seguir. Copie cada uma em seu caderno, faa os clculos e complete-as.
 a) Preo por kg: R$7,00
 Peso kg: 0,450
 A pagar: ...

 b) Preo por kg: ...
 Peso kg: 1,300
 A pagar: R$32,50

 17. Para saber se um carro  econmico, calcula-se quantos quilmetros, em mdia, ele percorre com 1 litro de combustvel. Por exemplo, se o carro faz 14 quilmetros com 2 litros de lcool, o consumo  de 7 quilmetros por litro. Isso porque 142 d 7.
 a) Qual  o consumo mdio de um automvel Piat que rodou 408 km com 40 L de combustvel? E o de um automvel Vusca que fez 304,5 km com 35 L de combustvel?
 b) Qual dos dois carros  o mais econmico?
 c) Quantos quilmetros o Piat roda com 12 L de combustvel? E o Vusca?

<80>
 18. Este problema  um desafio.
  Nas corridas de 110 metros com barreiras, h 10 barreiras, igualmente espaadas, todas com 1,067 m de altura. A primeira fica a 13,72 m da linha de partida e a ltima, a 14,02 m da linha de chegada.
  Quantos metros h entre uma barreira e a seguinte?

_`[{a professora diz: "Uma ajuda: a resposta no  8,226 m!"_`]
<R->
<p>
 Ao

 Estime e calcule

  Para jogar, forme dupla com um colega ou uma colega. Cada dupla deve dispor de uma tabela como esta:

<F->
           _ expresso
:::::::::::w:::::::::::
Resultado _ estimado
Resultado _ exato
Pontos    _ obtidos
<F+>

  O professor escreve no quadro-de-giz uma srie de seis expresses. Quando ele autorizar o incio do jogo, as duplas anotam as expresses na tabela, fazem uma estimativa dos resultados e anotam na tabela. O professor fixar um tempo curto para evitar que as duplas faam as contas e cheguem ao resultado exato.
  Esgotado o tempo, as duplas utilizam a calculadora para obter os resultados exatos e chegar aos pontos obtidos.
  Vejamos um exemplo com a expresso 3,42,7:
<R+>
 o uma equipe estimou que o resultado  9,5;
 o o resultado exato  9,18;
 o a pontuao dessa equipe ser 9,5-9,18=0,32.
<R->
  No final, cada dupla soma os pontos obtidos. Mas ateno: vence a equipe com o *menor* nmero de pontos.

<81>
<R+>
 Problemas e exerccios para casa

 19. Copie e efetue em seu caderno.  possvel calcular mentalmente. Tente!
 a) 130,1
 b) 130,001
 c) 1,30,1
 d) 1,30,01 
 e) 10,5 
 f) 3,50,5
 g) 90,5
 h) 8,50,5

 20. Responda.
 a) Se 1,5 kg de presunto custa R$15,30, qual  o preo de 1 kg?
 b) Se 0,350 kg de queijo custa R$3,15, qual  o preo de 1 kg?

 21. Mais etiquetas de supermercado. Copie-as em seu caderno, faa os clculos e complete-as.
 a) Preo por kg: ...
  Peso kg: 0,400
  A pagar: R$3,20
 b) Preo por kg: R$3,00
  Peso kg: ...
  A pagar: R$7,00

 22. Efetue:
 a) (0,52-0,16)0,3 
 b) (6-5,45)0,11 
 c) 0,1620,0128
 d) 0,920,33

 23. Num posto de gasolina, minha me pediu ao frentista que enchesse o tanque de combustvel. Foram colocados 22,4 litros de gasolina, pelos quais ela pagou R$48,16.
  Quanto ela teria pago por 35 litros de gasolina?

 24. Esta questo  um desafio. Lus precisava fazer esta diviso:
 44136=12: quociente inteiro; resto 9
  Mas ele usou calculadora _`[no adaptada_`] e obteve 44136=12,25.
  Com base nesse resultado, que contas ele deve fazer na calculadora para descobrir o resto 9?

 25. Faa o que se pede.
 a) Efetue 811. O resultado ser uma dzima peridica.
 b) Explique o que  dzima peridica.
<R->

<82>
<p>
 Clculos envolvendo fraes

  No vocabulrio do dia-a-dia, frao significa parte ou pedao. Em Matemtica, frao  um smbolo do tipo a~b, sendo *a*, *b* 
nmeros naturais com b=0 (*b* diferente de zero). A escrita a~b pode indicar ab ou o nmero que  resultado dessa diviso; ela 
tambm pode indicar *a* partes de um total dividido em *b* partes iguais.
  Em certas ocasies, so teis clculos envolvendo fraes. Vamos revisar alguns j conhecidos por voc e apresentar certas novidades.

 Clculo da frao de um nmero

  Voc j conhece clculos desse tipo. Por exemplo, para obter #:d de 12, voc divide 12 por 4 (obtendo #,d de 12) e multiplica por 3 (obtendo os #:d de 12). Podemos indicar assim: 
 #:d de 12=(124)3
  Da mesma forma, podem ser calculadas certas porcentagens. Vamos ver, por exemplo, como calcular 31% de uma quantia Q.
  Sabemos que 31% significa 31 em 100, o que equivale a #:,ajj. Por isso, para calcular 31% de uma quantia Q, voc pode dividir Q por 100 (obtendo 1% de Q) e multiplicar por 31 (obtendo 31% de Q).
  Podemos indicar deste modo:
 31% de Q=#:,ajj de Q=Q10031

 Adio e subtrao de fraes

  Quando as fraes tm denominadores iguais, o clculo  muito fcil. Veja:
 #?g-#:g=#;g
 #,ab+#?ab=#!ab=#,b
  Um pouco mais difcil  efetuar, por exemplo, #:d+#,f.

<R+>
_`[{a professora diz: "Quartos e sextos so partes do inteiro com tamanhos diferentes. Ao somar essas partes, no sabemos se o resultado ser quartos, sextos ou outra coisa"_`]
<R->

<83>
  Resolvemos esse problema lembrando que cada frao pode ser escrita de muitas maneiras. Isso nos permite igualar os denominadores. Veja:
 #:d=#!h=#*ab=#,;af=...
 #,f=#;ab=#:ah=#bd=...
  Agora, somamos:
 #:d+#,f=#*ab+#;ab=#,,ab

  Percebeu? Substitumos #:d e #,f por fraes equivalentes, de mesmo denominador: 12. Repare que 12  o *mnimo mltiplo comum* de 4 e 6.
  Subtraes, como #:d-#,f, podem ser efetuadas com as mesmas ideias usadas na adio.

<R+>
 Procure no dicionrio: mnimo mltiplo comum.
<R->
<p>
 Frao multiplicando um nmero

  Agora, vamos analisar clculos do tipo #,cn. Nessa expresso, a letra *n* representa um nmero qualquer.
  Sabemos, por exemplo, que 56 significa 6+6+6+6+6=30, isto , nessa multiplicao, somamos o 6 cinco vezes. Mas qual  o significado quando o primeiro fator de uma multiplicao  uma frao?
  Se 56 so cinco vezes o nmero seis, podemos pensar que #,c6  o mesmo que "um tero de vez" o seis. Esse "um tero de vez" o seis  a mesma coisa que um tero de seis.
  Assim ficam associadas as palavras vezes e de, e multiplicar uma frao por um nmero se transforma em um clculo j conhecido. Veja dois exemplos:
 #,c6=#,c de 6=2
<R+>
 #:d20=#:d de 20=204
  3=53=15
<R->
  Esse ltimo clculo pode ser efetuado de maneira um pouco diferente. Pode-se multiplicar o numerador da frao pelo fator 20 e dividir o resultado pelo denominador. Observe:
 #:d20=?320*4=#!}d=604=
  =15

 Algo mais sobre a multiplicao

  Agora que voc j sabe que uma frao de um nmero  igual a essa frao vezes o nmero, surgem novas ideias na multiplicao. Vamos ver duas delas.
<84>
  Troca-se a frao por um nmero decimal igual. Assim, #,b31  o mesmo que 0,531. Logo: #,b31=15,5.
  Pode-se multiplicar uma frao por outra frao. Por exemplo, #,c#,b  a tera parte de #,b. Pense assim: dividindo #,b de um total em trs partes iguais, cada parte ser #,f do total. Portanto, #,c#,b=#,f.

 Outros clculos

  Os clculos com fraes sero completados no livro do prximo ano. No entanto, nas atividades seguintes, voc j poder aprender um pouco mais sobre a multiplicao e a diviso.

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Podemos calcular 17% de uma quantia de vrias maneiras. Voc pode mostrar uma delas?
 b) Explique como se efetua #,b+#,d.
 c) Por que precisamos igualar os denominadores para somar ou subtrair fraes?
 d) #,b vez #,b  o mesmo que #,b de #,b. Essa multiplicao d #,d. Voc saberia explicar por que o resultado  esse?
 e) Compare o triplo da quarta parte de uma quantia com a quarta parte do triplo da mesma quantia. Qual  maior?
 f) Escreva uma nica conta que corresponda ao triplo da quarta parte de Q.
 g) Para achar o resultado de uma diviso, voc deve descobrir quantas vezes o divisor cabe no dividendo. Por exemplo, em 1#,c, voc verifica quantas vezes #,c cabe em 1.
  Sabendo isso, voc  capaz de descobrir o resultado dessa diviso?
 h) E qual  o resultado de 2#,c?

<85>
 Problemas e exerccios

 26. Faz parte do regulamento de um clube a seguinte norma:
 Artigo 15 -- Para alterar qualquer artigo deste regulamento,  necessria a aprovao de, no mnimo, #;c dos scios.
  Quantos votos so necessrios para alterar o regulamento, se o clube tem:
 a) 405 scios?
 b) 500 scios?
<p>
 27. Calcule:
 a) 20% de R$135,00;
 b) 15% de uma populao de 8 milhes de habitantes;
 c) 60% da rea de um terreno de 400 m2;
 d) 0,5% de R$4.200,00.

 28. Vamos lembrar como se obtm fraes equivalentes a #:e:

 #:e=#!aj=#*ae=...
 #:e2=#!aj
 #:e3=#*ae

  Use os resultados anterior e efetue:
 a) #=aj-#:e;
 b) #:e+#,ae;
 c) #:e-#=ae;
 d) #:e-#,aj.

 29. Efetue em seu caderno.
 a) #=c60
 b) #:e80
 c) #;g343

 30. Para efetuar #,c#;e, pensamos em "#,c de vez" os #;e, ou em #,c de #;e.
  Agora, veja:

_`[{um retngulo foi dividido em cinco partes iguais e duas partes foram pintadas_`]

  A poro colorida da figura 
  _`[no adaptada_`] representa os #;e.
  Dividimos os #;e em teros.

_`[{figura no adaptada_`]

  E destacamos #,c dos #;e.
  Responda:
 a) #,c de #;e corresponde a que frao da figura toda?
 b) Quanto #,c#;e?
 c) E quanto  #;c#;e?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<86>
<p>
 31. Observe as figuras e responda.

<F->
pcccccccccccccccccc
l_
v------------------#  
 1                  
<F+>

<F->
pccccclcccccclccccc
ll      l     _
v-----v------v-----# 
 #,c
<F+>

<F->
pccclcccclcccclcccc
ll    l    l    _
v---v----v----v----# 
 #,d
<F+>

<F->
pccclccclccclccclccc
ll   l   l   l   _
v---v---v---v---v---#  
 #,e
<F+>

 a) Quantas vezes #,c cabe na unidade?
 b) Quantas vezes #,d cabe na unidade?
 c) Quantas vezes #,e cabe na unidade?
 d) Copie e complete em seu caderno.
 1~#,c=...
 1~#,d=...
 1~#,e=...
 e) Agora, use a imaginao e responda: quanto  3~#,e?
 f) Se *n* representa um nmero natural, quanto  n~#,e?

 Problemas e exerccios para casa

 32. De acordo com a receita do bolo, quantos gramas de farinha cabem numa xcara comum? D sua resposta aproximada, com uma *casa decimal*.

 Bolo de formigas
 1 xcara de leite
 #:d de xcara de farinha 
  (ou 100 g)
 2 ovos
 50 g de formigas frescas
<p>
 Procure no dicionrio: casa 
  decimal.

 33. Uma loja de roupas d 15% de desconto no total a pagar, se o cliente comprar duas calas *jeans*. Se o valor unitrio das calas  R$35,00, quanto deve gastar uma pessoa que aproveita essa oferta?

 34. Efetue e *simplifique* os resultados se possvel.
 a) #?f-#,h;
 b) #?f+#=ab;
 c) #=ab-#,h;
 d) #?h-#,h.

 Procure no dicionrio: simplificao.

 35. Observe a figura _`[no adaptada_`] e responda.
 a) A que frao da figura toda corresponde #,d de #;c?
 b) Quanto  #,d#;c?
<p>
 c) Use a imaginao e, com base na questo anterior, calcule #,aj#;c.
 d) A letra *n* representa um nmero natural qualquer. Quanto  1n#;c?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<87>
 36. Observe as figuras e responda:

_`[{figuras adaptadas:
  Um crculo dividido em duas partes iguais e uma parte est pintada #,b.
  Um crculo dividido em seis partes iguais e uma parte est pintada #,f_`]

 a) Quantas vezes #,f cabe em #,b?
 b) Quanto  #,b#,f?
<p>
 37. Na construo de um muro, #,c do trabalho foi concludo no primeiro dia e #;e no segundo dia.
  Agora, responda cada pergunta escrevendo e efetuando em seu caderno uma operao com fraes.
 a) Que frao do trabalho foi concluda nos dois dias?
 b) Que frao do trabalho ainda falta concluir?

 38. Responda cada questo escrevendo e efetuando em seu caderno uma multiplicao ou uma diviso envolvendo fraes.
 a) Uma receita de bolo pede #,b litro de leite; #,d dessa quantidade ser utilizada para o recheio. Que frao do litro  usada no recheio?
 b) Em cada copo cabe #,e de 1 litro de suco. Com 3 litros de suco, quantos copos posso encher?

 39. Primeiro, pedimos quatro clculos. Depois, voc responde por escrito uma pergunta.
 a) Escreva #,d na forma de nmero decimal.
 b) Calcule 0,2572.
 c) Calcule e simplifique no final: #,d72
 d) Efetue 724.
 e) Se voc no errou, os itens *b*, *c* e *d* deram o mesmo resultado. Qual  a explicao?
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  efetuar clculos com nmeros decimais envolvendo as quatro operaes;
  explicar a lgica desses procedimentos ("por que  feito assim");
  resolver problemas do dia-a-dia envolvendo nmeros decimais;
  efetuar alguns clculos envolvendo fraes.
<R->

<88>
 Um toque a mais

 O motim "quebra-quilos"

  Os nmeros decimais aparecem frequentemente associados a medidas
de comprimento, massa, capacidade etc. O motivo  que essas grandezas so
medidas por unidades que fazem parte de um sistema decimal: metro, quilograma
e litro. (Note, por exemplo, que 1 kg=1.000 g ou que 1 m=100 cm.)
Por isso, convm expressar essas medidas com nmeros decimais.

<R+>
_`[{foto: Tnel TD 1; extenso 3.146 m_`]
 Legenda: Tnel na Rodovia dos Imigrantes, estado de So Paulo, 2008. A altura mxima permitida  5,5 m.

_`[{foto descrita por legenda_`]
 Legenda: Garrafa plstica de 1 litro de leite integral.

_`[{uma balana digital com trs pssegos em cima_`]
 Legenda: A massa dos pssegos  0,337 kg.
<R->

  O sistema mtrico decimal  uma criao relativamente recente. Ele existe
h menos de 250 anos e em certos pases, como os Estados Unidos e a Inglaterra,
ainda no foi completamente implantado.
  No Brasil, ele passou a ser usado na segunda metade do sculo XIX, mas
isso no aconteceu sem sobressaltos. Encontramos no livro *Histria da Polcia
do Rio de Janeiro* (1) um relato de como isso se passou. Achamos o 
::::::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (1) BARRETO FILHO, Mello; LIMA, Hermeto. 
  *Histria da Polcia do Rio de Janeiro: aspectos da cidade e da vida carioca 1870-
  -1889*. Rio de Janeiro: A Noite, [s/d]. p. 37 e 38.
<R->
<F+>
<p>
relato to interessante que o transcrevemos a seguir.
<89>
  *Ateno*: neste texto, a acentuao das palavras obedece s normas gramaticais
da poca em que foi escrito.
  "Foi no gabinete de 7 de Maro de 1871, presidido pelo Visconde do Rio
Branco, que entrou em execuo a lei que mandava instituir o sistema mtrico
decimal, em substituio do antiquado sistema portugus de pesos e medidas,
que era o mais atrasado possvel, no obedecendo a regra nenhuma. Com
balanas primitivas e defeituosas, quando as havia, e muitas vezes com uma
pedra servindo de peso, era esta que controlava a quantidade. O govrno,
para pr trmo a tais balbrdias e inconvenientes, ordenara, por lei de 26 de
Junho de 1862, durante o 18 gabinete, que o sistema em vigor fsse substitudo
em todo o imprio pelo sistema mtrico francs. J existindo o decreto
de 1 de Abril de 1871, abrindo o crdito extraordinrio de 410 contos de ris,
para ocorrer s despesas com o servio relativo a essa substituio, em 11 de
Dezembro de 1872 vem o decreto aprovando o regulamento que estabelece
as condies a que devem satisfazer os pesos e medidas do sistema mtrico,
mandados adotar no Brasil pela lei n.o 1.157, de 26 de 
 Junho de 1862.
  "Porque o povo no compreendesse rapidamente o novo sistema, ou
porque achasse que o mesmo lhe era prejudicial, recebeu-o com animosidade,
assaltando, aos gritos de $"quebra-quilos$", algumas casas comerciais,
especialmente os aougues. A Polcia efetua, ento, vrias prises e, a custo,
procura conter a ordem. Durante alguns dias os estabelecimentos que
serviam ao pblico foram protegidos por fra armada. Nas provncias no
foi menor o movimento de rebeldia. No norte, em Sergipe, Alagoas, Paraba e
outros pontos, o povo igualmente se insurgiu, procurando estabelecer desordem.
Dentro em pouco, porm, tanto no Rio de Janeiro como nas provncias,
tudo voltava  calma e no mais se dizia: uma libra de carne, uma arroba de
acar ou de feijo, uma pataca de banha, um cvado de pano, etc., e sim um
quilo de carne, de acar ou de feijo, um metro de linho, etc".

<R+>
_`[{duas fotos descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: balana antiga.
 Legenda 2: balana antiga, adequada para pesar ouro.
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  O episdio mostra como  difcil mudar certos costumes. Mostra tambm que
os governos, muitas vezes, se esquecem de ouvir a populao. Discutir certas decises
 melhor do que simplesmente imp-las.
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 A deciso de implantar o sistema mtrico foi boa por vrias razes. Voc percebeu algumas delas?
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               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte